Ecos matemáticos de un pasado remoto

¿Qué tanto recuerda de sus cursos de trigonometría y geometría de la escuela secundaria? Con seguridad recuerda que, entre otras muchas cosas, nos enseñaron a distinguir entre un ángulo recto y uno que no lo es, y que en el primer caso el ángulo está definido por dos líneas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto. Aprendimos también que un ángulo recto mide 90 grados y que un ángulo agudo mide menos que eso. La escuela secundaria nos capacitó, igualmente, para identificar a un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos es recto y los otros dos agudos.

Todo lo anterior no fue difícil de comprender y recordar. Un poco más complejos fueron otros tópicos y conceptos que forman parte de los cursos de trigonometría, incluyendo a las funciones trigonométricas –seno, coseno, tangente, entre otras–. Sin olvidar, por supuesto, al célebre teorema de Pitágoras que establece una relación entre la longitud de los lados –catetos– de un triángulo rectángulo con la longitud de su hipotenusa.

Tanto las funciones trigonométricas como el teorema de Pitágoras nos permiten conocer el valor de una de las longitudes de un triángulo rectángulo –la hipotenusa o cualquiera de los dos catetos– dadas las otras dos longitudes y tienen por tanto una enorme utilidad práctica. En el trazado, por ejemplo, de un templo o una pirámide.

Por otro lado, es muy posible que si al terminar la escuela secundaria usted no continuó usando las funciones trigonométricas las haya ya olvidado en buena medida. Por el contrario, seguramente no tendrá ningún problema para evocar de manera clara a un ángulo rectángulo o a un ángulo agudo, pues el concepto abstracto de ángulo –generado por la intersección de dos rectas– es ya parte de nuestra cultura.

No ha sido siempre así, sin embargo, y en este respecto es interesante traer a colación un artículo aparecido esta semana en la revista “Historia Mathematica”, cuyos autores son David Mansfield y Norman Wildberger, matemáticos de la Universidad de Nueva Gales del Sur en Australia. En dicho artículo se reporta un estudio llevado a cabo con la tablilla de arcilla conocida como Plimpton 322, la cual fue descubierta en el sur de Irak hace casi 100 años. Dicha tablilla tiene una antigüedad de alrededor de 3,800 años y tuvo su origen en la antigua ciudad sumeria de Larsa cerca del Golfo Pérsico.

La tablilla Plimpton 322 mide 12.7 cm por 8.8 cm y muestra claramente que sufrió una fractura, posiblemente en tiempos recientes dado que contiene restos de un pegamento moderno. Muestra cuatro columnas y quince renglones igualmente espaciados de signos cuneiformes. Estos signos corresponden a números representados en un sistema sexagesimal, que es el que empleaban los sumerios. Algo que ha llamado la atención de los expertos desde que la tablilla fue estudiada en la década de los años cuarenta es que de los números contenidos en la misma se derivan tripletes de números consistentes con el teorema de Pitágoras. Como sabemos, este teorema establece que si elevamos al cuadrado los dos catetos de un triángulo rectángulo y los sumamos el resultado es igual al cuadrado de la hipotenusa. Un ejemplo de un triplete de esta clase son los números 3, 4 y 5.

El anterior es un resultado sorprendente y sugiere que la tablilla Plimpton 322 tuvo una utilidad matemática. Con relación a esto, se ha sugerido que fue empleada como una ayuda para la enseñanza de las matemáticas. Mansfield y Wildberger, por el contrario, concluyen que la Plimpton 322 es en realidad una tabla trigonométrica que, al igual que las tablas equivalentes contemporáneas, permite calcular una de la longitudes de un triángulo rectángulo dadas sus otras dos longitudes.

Por otro lado, a diferencia de lo que sucede hoy en día, el concepto de ángulo no existía entre los matemáticos sumerios y por lo mismo está ausente de la tablilla Plimpton 322, cuyos números y procedimientos se refieren solamente a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Además, a diferencia de una tabla trigonométrica contemporánea, que es aproximada hasta un cierto grado, los números consignados en la tablilla Plimpton 322 son exactos.

Así, si bien son los griegos a los que se acredita haber inventado la trigonometría, de estar Mansfield y Wildberger en lo cierto, los sumerios se les habrían adelantado por mil años, mostrando un sorprendente nivel de sofisticación matemática, si bien poca capacidad para transmitir sus conocimientos a la posteridad. Esto, en fuerte contraste con los griegos.

De todo lo anterior, y asumiendo que Mansfield y Wildberger tienen efectivamente la razón, resultaría que la trigonometría, un tópico que a muchos nos provocó dolores de cabeza en la escuela secundaria, es en realidad algo que fue inventado por los sumerios, para nuestra consternación, hace ya miles de años. Igualmente, resultaría que el concepto de ángulo, que nos parece tan natural, no lo es tanto en realidad. De hecho, su ausencia no fue obstáculo para que los sumerios desarrollaran la trigonometría y la aplicaran en la construcción de templos, palacios y canales.